题文
研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲课所用的时间．上课开始时，学生兴趣高，接受能力递增，中间有一段时间学生的兴趣不变，接受能力稳定在某个状态，随后学生的注意力开始分散，接受能力下降．分析结果和实验表明：用f（x）表示学生的接受能力，x表示老师讲课所用的时间（单位：分），可有以下的关系式：f(x)=-0.1x2+2.6x+43，(0＜x≤10)59，(10＜x≤16)-3x+107，(16＜x≤30).（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？
（2）一个数学难题，需要不低于55的接受能力，上课开始30分钟内，问能达到该接受能力所要求的时间共有多少分钟？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）0＜x≤10时，有f（x）=-0.1x2+2.6x+43=-0.1（x-13）2+59.9，对称轴x=13在区间（0，10]右边
故当0＜x≤10时，f（x）递增，
最大值为f（10）=-0.1×（-3）2+59.9=59；
显然，当16＜x≤30时，f（x）递减，
f（x）＜-3×16+107=59．
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟…（6分）
（2）依题意，当0＜x≤10时，
令f（x）≥55，则（x-13）2≤49，
∴6≤x≤10；
当10＜x≤16时，f（x）=59符合要求；
当16＜x≤30时，令f（x）≥55，则x≤1713
因此，学生不低于55的接受能力的时间共有1713-6=1113（分钟）…（13分）
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“研究表明：学生的接受能力依赖于老师持续讲.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
