题文
已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2令x=y=0，f（0）=f（0）•f（0）-f（0）-f（0）+2
∴f2（0）-3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1
若 f（0）=1
则 f（1）=f（1+0）=f（1）•f（0）-f（1）-f（0）+2=1，
与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2 （1分）
设x＜0，则-x＞0，那么f（-x）＞2
又2=f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）-f（x）-f（-x）+2
∴f(x)=f(-x)f(-x)-1=1+1f(-x)-1
∵f（-x）＞2
，∴0＜1f(-x)-1＜1，从而1＜f（x）＜2（3分）
（2）函数f（x）在R上是增函数
设x1＜x2则x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞2
f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）-f（x2-x1）-f（x1）+2
=f（x2-x1）[f（x1）-1]-f（x1）+2
∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）-1＞0，又f（x2-x1）＞2
∴f（x2-x1）•[f（x1）-1]＞2f（x1）-2
f（x2-x1）[f（x1）-1]-f（x1）+2＞f（x1）
即f（x2）＞f（x1）
∴函数f（x）在R上是增函数 （3分）
（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数
∴函数y=f（x）-k在R上也是增函数
若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减
则x∈（-∞，0）时，g（x）=|f（x）-k|=k-f（x）
即x∈（-∞，0）时，f（x）-k＜0，
∵x∈（-∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分）
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解析
f(-x)f(-x)-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
