题文
已知函数f（n），（n∈N），满足条件：①f（2）=2；②f（xy）=f（x）•f（y）；③f（n）∈N； ④当x＞y时，有f（x）＞f（y）． （1）求f（1），f（3）的值．
（2）由f（1）f（2），f（3）的值，猜想f（n）的解析式． （3）证明你猜想的f（n）的解析式的正确性． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）：∵f（2）=f（2×1）=f（2）•f（1），又f（2）=2，∴f（1）=1．又∵f（4）=f（2•2）=f（2）•f（2）=4，2=f（2）＜f（3）＜f（4）=4，且f（3）∈N．∴f（3）=3．（2）由f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3猜想f（n）=n（n∈N）．
（3）用数学归纳法证明：
①当n=1时，f（1）=1，函数解析式成立；
②假设n≤k时，f（k）=k，函数解析式成立；
（i）若k+1=2m（m∈N），f（k+1）=f（2m）=f（2）•f（m）=2m=k+1．
（ii）若k+1=2m+1（m∈N），f（2m+2）=f[2（m+1）]=f（2）•f（m+1）=2（m+1）=2m+2，2m=f（2m）＜f（2m+1）＜f（2m+2）=2m+2．∴f（2m+1）=2m+1=k+1．
即n=k+1时，函数解析式成立．
综合①②可知，f（n）=n（n∈N）成立．
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（n），（n∈N），满足条件：.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
