定义域为R的函数y=f满足：①f(x+π2)=-f(x)；②函数在[π12，7π12]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[π12，7π12]，当x1＜

题文

定义域为R的函数y=f（x）满足：
①f(x+π2)=-f(x)；
②函数在[π12，7π12]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[π12，7π12]，当x₁＜x₂时恒有f（x₁）＜f（x₂）．
（1）求m的值；
（2）若f(π3+x)=-f(π3-x)，并且f(π4sinx+π3)＞0求满足条件的x的集合；
（3）设y=g（x）=2cos²x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x+π2)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
而函数在[π12，7π12]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[π12，7π12]，当x₁＜x₂时恒有f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在[π12，7π12]上单调递增，而f(x+π2)=-f(x)，∴m=-2
（2）∵f(π3+x)=-f(π3-x)，∴f（x）的图象关于点（π3，0）对称
∵f(π4sinx+π3)＞0
∴π3+kπ＜π4sinx+π3＜5π6+kπ，而π12≤π4sinx+π3≤7π12
则π3＜π4sinx+π3≤7π12
∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos²x+sinx
∴y=g（x）=-2sin²x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t²+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t²+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．

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解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“定义域为R的函数y=f（x）满足：①f(.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。