已知对∀x，y＞0，有f=x，f=f，f=yf求f，f的值；求f

题文

已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2ⁿ），其中n∈N^*；
（3）求证：f（2，2ⁿ）＞f（1，n）对∀n∈N^*恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由条件有：f(x，x+y)=x+yyf(x，y)，
（1）∴f(1，4)=43f(1，3)=43×32f(1，2)=43×32×21f(1，1)=4；
∴f(2，8)=86f(2，6)=86×64 ×42f(2，2)=8．
（2）由（1）知：
     f(1，n)=nn-1×n-1n-2×…×21f(1，1)=n，
     f(2，2n)=2n2n-2×2n-22n-4×…×42f(2，2)=2n；
（3）由（2）知：即求证：2ⁿ＞n对∀n∈N^*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，2¹＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2^k＞k，
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对∀n∈N^*恒成立．

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解析

x+yy

考点

据考高分专家说，试题“已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。