定义在上的函数f满足：①f=1，②对任意实数b，f=bf．求f，f，f，及满足f（k-100

题文

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（10）=1，
②对任意实数b，f（x^b）=bf（x）．
（1）求f（1），f（12），f（14），及满足f（k-1002）=lg1002的k值；
（2）证明对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）证明f（x）是（0，+∞）上的增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意实数b，f（x^b）=bf（x），f（10）=1，
∴f（1）=f（10⁰）=0×1=0，
f（12）=f（10^lg12）=lg12×1=lg12
f（14）=f[（12）²]=2f（12）=2lg12．
因为f（k-1002）=f（10^{lg（k-1002）}）=lg（k-1002）=lg1002
∴k=2004．
（2）设x，y∈（0，+∞），
当x≠1时，
f（xy）=f（x•xlogxy）
=x1+logxy
=（1+log_xy）f（x）
=f（x）+log_xy•f（x）
=f（x）+f（xlogxy）
=f（x）+f（y）．
当x=1时，因为f（1）=0也适合，
故对任意x，y∈（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）因为x＞1时，
f（x）=f（10^lgx）=lgx•f（x）=lgx＞0，
设0＜x₁＜x₂，则x2x1＞1，所以f（x2x1）＞0．
由（2）知f（x₂）=f（x2x1•x₁）=f（x2x1）+f（x₁）＞f（x₁），
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。