函数y=f对任意实数x，y都有f=f+f+2xy．求f的值；若f=1，求f，f，f的值，猜

题文

函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；（n∈N^*）
（Ⅲ）若f（1）≥1，求证：f(12n)＞0(n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0（3分）
（Ⅱ）f（1）=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16（2分）
猜想f（n）=n²，下用数学归纳法证明之．
当n=1时，f（1）=1满足条件
假设当n=k时成立，即f（k）=k²
则当n=k+1时f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k²+1+2k=（k+1）²
从而可得当n=k+1时满足条件
对任意的正整数n，都有 f（n）=n²                （5分）
（Ⅲ）f（1）≥1，则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1⇒f(12)≥14＞0
假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即f(12k)≥122k＞0，则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k⇒f(12k+1)≥122(k+1)，
由上知，则f(12n)＞0(n∈N*)．（4分）

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解析

f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。