题文
如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当-12≤x≤12时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（II）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
又设12≤x≤32，则-12≤1-x≤12，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再设n-12≤x≤n+12（n∈z），
当n=2k（k∈z），2k-12≤x≤2k+12，则-12≤x-2k≤12，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
当n=2k+1（k∈z），2k+1-12≤x≤2k+1+12，则12≤x-2k≤32，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴对于，n-12≤x≤n+12（n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-12≤x+1≤n+1+12，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期为1的函数．
①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有2013个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，1006）有2012个交点，而在[1006，1007]有一个交点．
∴y=mx过（20132，12），从而得m=12013
②当m＜0时，同理可得m=-12013
③当m=0时，不合题意．
综上所述m=±12013…（14分）
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
