已知函数y=f是定义在上的函数，有f=1，对于任意的x＞0，y＞0，都有f=f+f，且满足当x＞1时，f＞0成

题文

已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，有f（2）=1，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足当x＞1时，f（x）＞0成立．
（1）求f（1）、f（4）的值；    
（2）求满足f（x）+f（x-3）＞2的x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2），∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
（2）下面先证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
证明：任取x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂，则x2x1＞1，由已知得f(x2x1)＞0．
∴f（x₂）=f(x2x1×x1)=f(x2x1)+f（x₁）＞f（x₁），即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）是单调递增．
∵f（x）+f（x-3）=f（x²-3x）＞2=f（4），∴x²-3x＞4，解得x＞4，或x＜-1，
而已知x＞0，∴x＜-1应舍去，
故x的取值范围是x＞4．

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解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。