设f是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f=-3f．当x∈[0，2]时，f=2x-x2．则f+f+f+…+

题文

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-3f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．则f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（ ）A．-34（1-3¹⁰⁰⁷）B．-34（1+3¹⁰⁰⁷）C．-14（1-131007）D．-14（1+131007） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
∴当x=0时，f（0）=0，当x=1时，f（1）=1，
又∵f（x+2）=-3f（x），
∴当x=-2时，f（0）=-3f（-2），故f（-2）=0，
当x=-1时，f（1）=-3f（-1），故f（-1）=-13，
以此类推，f（-4）=f（-6）=…=f（-2014）=0，
故f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）=0，
∵f（x+2）=-3f（x），
∴f(x)f(x+2)=-13，
故f（-1），f（-3），f（-5），…，f（-2013）构成以f（-1）为首项，-13为公比的等比数列，
∴f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）=-13×[1-(-13)1007]1-(-13)=-14(1+131007)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=[f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）]+[f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）]=0+-14(1+131007)=-14(1+131007)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=-14(1+131007)．
故选：D．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。