设函数f对任意xy∈R，都有f=f+f，且x＞0时，f＞0，且f=2求f，f的值求证：f

题文

设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，且f（1）=2
（1）求f（0），f（-1）的值
（2）求证：f（x）是奇函数
（3）试问在-2≤x≤4时，f（x）是否有最值；如果没有，说出理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y=0
则f（0）=2f（0），
所以f（0）=0，
令x=1，y=-1，由f（1）=2得
f（0）=f（-1）+f（1）=f（-1）+2=0
解得f（-1）=-2
（2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x）
故f（x）是奇函数
（3）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0．⇒f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴y=f（x）在R上为增函数．
∴y=f（x）在[-2，4]上为减函数，f（-2）为函数的最小值，f（4）为函数的最大值．
又f（4）=2f（2）=4f（1）=8，
f（-2）=2f（-1）=-4
∴函数最大值为8，最小值为-4

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。