已知奇函数f对任意x，y∈R，总有f=f+f，且当x＞0时，f＜0，f=-23．求证：f是R上的减函数．（2

题文

已知奇函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-23．
（1）求证：f（x）是R上的减函数．
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）+f（x-3）≤-2，求实数x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x则f（-x）=-f（x），---2’
在R上任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）------4分
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
又∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，有定义可知函数f（x）在R上为单调递减函数．--6分
（2）∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-23）=-2，
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值为2，最小值为-2．------10分
（3）∵f（x）+f（x-3）≤-2，由（1）、（2）可得f（2x-3）≤f（3）
∴2x-3≥3，
∴x≥3，
故实数x的取值范围为[3，+∞）．------12分

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知奇函数f（x）对任意x，y∈R，总有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。