设定义域为R+的函数f，对任意的正实数x，y，都有f=f+f，且当x＞1时有f＞0．①求f的值；②判断f在（0，+∞

题文

设定义域为R₊的函数f（x），对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
③若f（1a）=-1，求满足不等式f（1-x-2x²）≤1的x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
②f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则x1x2＞1，
∴f（x1x2）＞0，
∴f(x1)-f(x2)=f(x2⋅x1x2)-f(x2)=f(x2)+f(x1x2)-f(x2)=f(x1x2)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
③∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令y=1x，则f（1）=f（x）+f（1x）=0，
又f（1a）=-1，
∴f（a）=1，
由②知，f（x）在（0，+∞）上的是增函数．
∴不等式f（1-x-2x²）≤1等价为f（1-x-2x²）≤f（a），
则

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解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“设定义域为R+的函数f（x），对任意的正.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。