设函数f定义域为R，当x＞0时，f＞1，且对任意x，y∈R，有f=f•f．证明：f=1；证明：f在R上

题文

设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得当x₁＞0时，f（x₁）＞1＞0
当x₁=0时，f（x₁）=1＞0
当x₁＜0时，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故对于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），故命题得证．
（3）解由f（x²+y²）＜f（1），则由单调性知x²+y²＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x²+y²=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故|c|

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解析

|c|

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。