如果函数f满足：对任意的实数x，y都有f=f•f且f=2，则f(2)f(1)+f(4)f(2)+f(6)f(3)+f(8)f(

题文

如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则f(2)f(1)+f(4)f(2)+f(6)f(3)+f(8)f(4)+…+f(20)f(10)=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由f（x+y）=f（x）•f（y）得f（2x）=f（x）²⇒f(2x)f(x)=f（x）．
∵f（x+y）=f（x）•f（y）⇒f（x+1）=f（x）•f（2）=2f（x）⇒f(x+1)f(x)=2，
所以数列{f（n）}是以2为首项，2为公比的等比数列，故f（n）=2×2^n-1=2ⁿ．
∴f(2n)f(n)=f（n）=2ⁿ．
则f(2)f(1)+f(4)f(2)+f(6)f(3)+f(8)f(4)+…+f(20)f(10)=2¹+2²+2³+…+2¹⁰=2(1-210)1-2=2¹¹-2=2046．
故答案为：2046．

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解析

f(2x)f(x)

考点

据考高分专家说，试题“如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。