定义在区间上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，求证f (x)为奇函数；试解不等式

题文

定义在区间

上的函数

满足：①对任意的

，都有

；②当

时，

 
（1）求证f (x)为奇函数；（2）试解不等式

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明见解析。
（2）

点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习

解析

（1）解：令x = y = 0，则
f (0) + f (0) =


             ∴f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴f (x) + f (－x) = f (

) = f (0) = 0
∴f (－x) =－f (x)
∴f (x) 在(－1，1)上为奇函数
（2）解：令－1< x₁ < x₂ < 1
则f (x₁) －f (x₂) = f (x₁) + f (－x₂) =


∵x₁－x₂ < 0，1－x₁x₂ > 0
∴

 ∴

> 0
∴f (x₁) > f (x₂) ∴f (x) 在(－1，1)上为减函数
又f (x) + f (x－1) >







∴不等式化为






或




∴不等式的解集为

考点

据考高分专家说，试题“定义在区间上的函数满足：①对任意的，都有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。