设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当求证：f=1，且当x＜0时，f＞1；求证：f在R上递减。

题文

设函数

定义在R上，对任意实数m、n，恒有

且当


（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）求证：f（x）在R上递减。 题型：未知 难度：其他题型

答案

略

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解析

（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，
令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.
∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1…………………2分
设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，
∴f（x）=

＞1……………………….6分
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂－x₁＞0，∴0＜f（x₂－x₁）＜1………………….8分
令m=x₁，m+n=x₂，则n=x₂－x₁，代入条件式，得f（x₂）=f（x₁）·f（x₂－x₁），…10分
即0＜

＜1.∴f（x₂）＜f（x₁）……………….12分
∴f（x）在R上单调递减………………….14分

考点

据考高分专家说，试题“设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。