题文
（本小题满分14分）已知函数
，
；
（Ⅰ）证明
是奇函数；
（Ⅱ）证明
在（-∞，-1）上单调递增；
（Ⅲ）分别计算
和
的值，由此概括出涉及函数
和
的对所有不等于零的实数
都成立的一个等式，并加以证明 题型：未知 难度：其他题型
答案
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解析
解:(Ⅰ)∵函数的定义域为(-∞,0)∪(0，+∞),是关于原点对称的;
又
∴
是奇函数. ……………………………………………………………（4分）
(Ⅱ)设
, 则:
,
∵
,
，
，
,
∴
.即
且
∴
在
上单调递增. …（8分）
(Ⅲ)算得:
;
;
由此概括出对所有不等于零的实数
都成立的等式是:
…（12分）
下面给予证明:∵
=
-
=0
∴
对所有不等于零的实数
都成立. ………………（14分）
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分） 已知函数，；（Ⅰ）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
