对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数,则给出下列四个命题：①函数的定义域是R,值域为[0,1];②

题文

对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.5]=-2,[2.5]=2,定义函数

,则给出下列四个命题：①函数

的定义域是R,值域为[0,1];②方程

有无数个解；③函数

是周期函数；④函数

是增函数.其中正确的序号是 (   )A．①③B．②④C．①④D．②③ 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

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解析

专题：新定义．
分析：要使解析式有意义，得出函数{x}的定义域为R，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数．
解答：解：∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③是正确的，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误，
当x=

时，{x}=

，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=

+k时（k∈Z），{x}=

，∴②是正确的，
∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴④错误
故选D．
点评：此题是自定义一个函数，求函数的性质，一般研究函数从图象入手，要找出准确的切入点，x∈R时，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1）．

考点

据考高分专家说，试题“对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。