已知函数求f(x)在［-1，e］上的最大值；对任意给定的正实数a，曲线y= f(x)上是否存在两点P，Q，

题文

（本小题满分14分）
已知函数


（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最

大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y= f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）∵e=

  ∴c=

 a      
∴b²=a²-c²=

 a²
故所求椭圆为：

…………

……………………（1分）
又椭圆过点（

）  ∴

   ∴a² ="4.  " b² ="1  " ∴

（3分）
(Ⅱ)设P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中点为（x₀,y₀）
将直线y=kx+m与


联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0


  ①
又x₀=

……………………（5分）
又点［-1，0）不在椭圆OE上，
依题意有


整理得3km=4k²+1  ②……………………………………………………（7分）
由①②可得k²＞

，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞

……………………（8分）
设O到直线l的距离为d，则
S_△OPQ =


=

……………………………（10分）
当

的面积取最大值1，此时k=

 
∴直线方程为y=

 ……………………………………（12分）

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求f(.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。