题文
（本题满分13分）定义在R上的函数
满足：对任意实数
，总有
，且当
时，
．
（1）试求
的值；
（2）判断
的单调性并证明你的结论； 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）在中，令
．得：
．
因为
，所以，
．---------------4分
（2）要判断
的单调性，可任取
，且设
．
在已知条件
中，若取
，则已知条件可化为：
．------------------------------7分
由于
，所以
．
为比较
的大小，只需考虑
的正负即可．
在
中，令
，
，则得
．
∵
时，
，
∴ 当
时，
．-----------------------11分
又
，所以，综上，可知，对于任意
，均有
．
∴
．
∴ 函数
在R上单调递减．------------------------------13分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分13分）定义在R上的函数满足：.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
