题文
已知函数
（Ⅰ）求函数
的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点
，
，如果存在曲线上的点
，且
，使得曲线在点
处的切线
∥
，则称
为弦
的伴随切线。特别地，当
时，又称
为
的λ－伴随切线。
（ⅰ）求证：曲线
的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有
伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
…………………………………… 2分
当
，
，函数
在
内是增函数，
∴函数
没有极值。 ……………………………… 3分
当
时，令
，得
。
当
变化时，
与
变化情况如下表：
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
∴当
时，
取得极大值
。
综上，当
时，
没有极值；
当
时，
的极大值为
，没有极小值。 ……………5分
（Ⅱ）（ⅰ）设
是曲线
上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点
，使得
，且点
不在
上。 ……………………7分
∵
，即证存在
，使得
，即
成立，且点
不在
上。 …………………8分
以下证明方程
在
内有解。
记
，则
。
令
，
∴
，
∴
在
内是减函数，∴
。
取
，则
，即
。……9分
同理可证
。∴
。
∴函数
在
内有零点。
即方程
在
内有解
。………………10分
又对于函数
取
，则
可知
，即点Q不在
上。
是增函数，∴
的零点是唯一的，
即方程
在
内有唯一解。
综上，曲线
上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。…… 11分
（ⅱ）取曲线C：
，则曲线
的任意一条弦均有
伴随切线。
证明如下：设
是曲线C上任意两点
，
则
，
又
，
即曲线C：
的任意一条弦均有
伴随切线。
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解析
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）对于曲.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
