题文
（本小题满分14分）设函数
的定义域是R，对于任意实数
，恒有
，且当
时，
．
（Ⅰ）若
，求
的值；（Ⅱ）求证：
，且当
时，有
；
（Ⅲ）判断
在R上的单调性，并加以证明. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）令m=n=1得f(2)=f(1)f(1)=
， 2分
∴
． 4分
（Ⅱ）
，
令
，则
，且当
时，
，
∴
； 6分
设
，
，
∴
，∴
． 9分
（Ⅲ）在R上任取x1，x2，使得
，
则
，∴
，
∴
∵当x>0时，0
∴对任意x∈R，有f(x) >0，∴f(x1)>0
∵0
∴f(x2)-f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)
∴
在R上是单调递减． 14分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）设函数的定义域是R，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
