设函数,函数g(x)=分别在x=m和x=n处取得极值，且m<n求的值求证：f(x)在区间[m,n]上是增函数设f(x

题文

（本小题满分14分）
设函数

,函数g(x)=

分别在x=m和x=n处取得极值，且
m（1）求

的值
（2）求证：f(x)在区间[m,n]上是增函数
（3）设f(x)在区间[m,n]上的最大值和最小值分别为M和N,试问当实数a为何值时，M-N取得最小值？并求出这个最小值题型：未知难度：其他题型

答案

解：（1）

（2）f(x)在区间[m,n]上为增函数；
（3）a=0，f(n)=1

a="0"

。

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解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用求解函数的极值和函数的最值，以及函数的单调性问题的综合运用。
（1）因为为

的两根为m,n
所以由韦达定理得 m+n=-a,mn=-1，从而解得

。
（2）运用导数的工具性作用，判定函数在给定区间的导数是否恒大于等于零得到。
（3）根据由（2）可知M=f(n),N=f(m)

必有f(m)+f(n)=0，得到2mn(m+n)+2a="0" 所以a=0。
解：（1）因为

的两根为m,n
所以由韦达定理得 m+n=-a,mn=-1 ……（1分）

因为m≤x≤n,所以

因此f(x)在区间[m,n]上为增函数 ……（8分）
（3）由（2）可知M=f(n),N=f(m)

……（10分）
必有f(m)+f(n)=0
又f(m)+f(n)=

整理可得 2mn(m+n)+2a="0" 所以a=0
又可验证此时f(n)=1

a="0"

……（14分）

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）设函数,函数g(x).....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。