定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，求证：；求证：对任意的，恒有；证明：是上的增函数.

题文

定义在

上的函数



，当

时，

，且对任意的

,有

，
（Ⅰ）求证：

；
（Ⅱ）求证：对任意的

，恒有

；
（Ⅲ）证明：

是

上的增函数. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

.

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解析

（Ⅰ）令

即可得证；（Ⅱ）令

得，

，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明

为增函数：任取x₂>x_1，则

，

，故

，故其为增函数.
试题解析：（Ⅰ）令

，则f(0)=[f(0)]²  ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分
（Ⅱ）令

则 f(0)=f(x)f(-x)∴

  4分
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴

，又x=0时，f(0)=1>0       6分
∴对任意x∈R，f(x)>0               7分
(Ⅲ)任取x₂>x₁，则f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0  8分
∴


∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函数       13分

考点

据考高分专家说，试题“定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。