题文
已知函数
的图像在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）若曲线
上存在两点
使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
时
在[-1，2]上的最大值为2，
当
时
在[-1，2]上的最大值为
；（Ⅲ）
.
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解析
（Ⅰ）由题意先对
时的函数
进行求导，易得
，解得
；（Ⅱ）因为函数
为分段函数，要求在区间
上的最大值，需分别求区间
和
上的最大值，当
时，应对函数
进行求导，求函数的单调性，从而求区间
上的最大值；当
时，应对函数
分
两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知
的横坐标互为相反数，不妨设
，其中
，若
，则
，由
是直角，得
，即
，方程无解；若
，则
由于
中的中点在
轴上，且
，所以
点不可能在
轴上，即
同理有
，
，得
的范围是
.
试题解析：（I）当
时
，
因为函数图象在点
处的切线方程为
，
所以切点坐标为
且
解得
. 4分
（II）由（I）得，当
时
，令
，
可得
或
在
和
上单调递减，在
上单调递增，所以在
上
的最大值为
，当
时，
,
当
时，
恒成立
此时
在[-1，2]上的最大值为
；
当
时
在[1，2]上单调递增，且
，
令
则
，
所以当
时
在[-1，2]上的最大值为
，
当
时
在[-1，2]上的最大值为
，
综上可知，当
时
在[-1，2]上的最大值为2，
时当
时
在[-1，2]上的最大值为
. 9分
（III）
根据条件可知
的横坐标互为相反数，
不妨设
，其中
，
若
，则
，由
是直角，得
，即
，
即
此方程无解；
若
，则
由于
中的中点在
轴上，且
，所以
点不可能在
轴上，
即
同理有
，
，
令
由于函数
的值域是
所以实数
的取值范围是
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
