二次函数f的图象顶点为A，且图象在x轴上截得线段长为8．求函数f的解析式；令g=x﹣f；

题文

二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）；
①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
②求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由条件设二次函数f（x）=a（x﹣1）2+16=ax²﹣2ax+a+16，
设f（x）=0的两根为：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵图象在x轴上截得线段长为8，由韦达定理得：
（x₂﹣x₁）²=（x₂+x₁）²﹣4x₂x₁=（﹣2）²﹣4×a+16 a=64
解得a=﹣1，
∴函数的解析式为f（x）=﹣x²+2x+15．
（2）①∵f（x）=﹣x²+2x+15，
∴g（x）=（2﹣2a）x﹣f（x）=x²﹣2ax﹣15，而g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，
∴对称轴x=a在[0，2]的左侧，
∴a≤0．所以实数a的取值范围是{a|a≤0}．
②g（x）=x²﹣2ax﹣15，x∈[0，2]，对称轴x=a，
当a＞2时，g（x）_min=g（2）=4﹣4a﹣15=﹣4a﹣15，
当a＜0时，g（x）_min=g（0）=﹣15，
当0≤a≤2时，g（x）_min=g（a）=a²﹣2a²﹣15=﹣a²﹣15．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“二次函数f（x）的图象顶点为.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。