已知二次函数f=ax2+bx+c．若a＞0且bc≠0，f=-1，|f|=|f|=1，试求f的解析式；若对x1、x2∈

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a＞0且bc≠0，f（0）=-1，|f（-1）|=|f（1）|=1，试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x₁，x₂）．题型：未知难度：其他题型

答案

（Ⅰ）令x=0，则|f（0）|=|c|=1，令x=-1，则f（-1）=a-b+c=1，令x=1，则|f（1）|=|a+b+c|=1，下面分类讨论，①若f（0）=f（-1）=1，由于二次函数只能有两根相同，则f（1）=-1 所以c=1，a-b+c=1，a+b+c=-1 解得a=-1，b=-1，c=1，不符合a＞0的条件，舍去 ②若f（1）=1，则f（0）=-1 c=-1，a+b+c=1，a-b+c=1，解得a=2，b=0，c=-1，不符合bc≠0的条件，舍去 ③若f（1）=-1，f（0）=-1，则 c=-1，a+b+c=-1，a-b+c=1 解得a=1，b=-1，c=-1，满足综上所述：f（x）=x²-x-1．
（Ⅱ）证明：当x2＜-b2a或x1＞-b2a时：可知f（x）在（x₁，x₂）内是单调的．
设f（x₁）＜f（x₂），
则必有f（x₁）＜12[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），
因此必然存在实数m∈（x₁，x₂）满足f（m）=12[f（x₁）+f（x₂）]．
同理当f（x₁）＞f（x₂）时也成立．当x₁＜-b2a且x₂＞-b2a时：若-b2a＜-x₁＜x₂+b2a，
可设x₁′=-ba-x₁，
则有f（x₁′）=f（x₁），
且f（x）在（x₁′，x₂）是单调的，以后证法同上．
同理当-b2a＞-x₁＞x2+b2a时也成立．
综上所述：方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，必有一实根属于（x₁，x₂）．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点