设二次函数f=ax2+bx+c，已知f=0，且存在实数m，使f=-a．试推断函数f在区间[0，+∞]上的单调性；（2

题文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断函数f（x）在区间[0，+∞]上的单调性；
（2）设x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）比较f（m+3）与0的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（1）=0可得a+b+c=0，a+c=-b ①，
由f（m）=-a可得 ax²+bx+c+a=0 有实数根，故判别式△=b²-4a（c+a）≥0 ②．
由①②可得 b²+4ab=b（b+4a）≥0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0，∴b≥0．
∴二次函数f（x） 的对称轴为x=-b2a≤0，故f（x） 在（0，+∞）上是增函数．
（2）由于x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，故x₁+x₂=-2ba，x₁•x₂=ca，
∴|x₁-x₂|=(x1+x2)2-4x1x2=(-2ba)2-4aca2=4(ca+12)2+3．
由a＞b=-（a+c） 可得 2a＞-c，∴ca＞-2．
又a+c=-b≤0，可得ca≤-1．
综上可得-2＜ca≤-1，-32＜ca+12≤-12，故 14≤(ca+12)2＜94，
∴2≤|x₁-x₂|＜23，故|x₁-x₂|的取值范围是[2，23）．
（3）∵f（1）=0，故可设f（x）=a（x-1）（x-ca）．
∵f（m）=-a，∴a（m-1）（m-ca）=-a，（m-1）（m-ca）=-1＜0．
∵ca＜0，∴ca＜m＜1，∴m＞-2，m+3＞1，故f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故有 f（m+3）＞f（1）=0．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。