设二次函数f=ax2+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f=x}．若A={1，2}，且f=2，求M

题文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两实根．
∴1+2=1-ba2=ca，解得a=1，b=-2
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，当x=1时，
f（x）_min=f（1）=1，即m=1；
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10．
（2）由题意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：1+1=1-ba1=ca，即b=1-2ac=a，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]其对称轴方程为x=2a-12a=1-12a
又a≥1，故1-12a∈[12，1)
∴M=f（-2）=9a-2
m=f(2a-12a)=1-14a
则g（a）=M+m=9a-14a-1
又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴当a=1时，g（a）_min=314

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解析

1+2=1-ba2=ca

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。