已知函数f=log4若f=1，求f的单调区间；是否存在实数a，使f的最小值为0？若存在，求出a的值；若不

题文

已知函数f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．题型：未知难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a•1²+2×1+3）=1⇒a+5=4⇒a=-1
可得函数f（x）=log₄（-x²+2x+3）
∵真数为-x²+2x+3＞0⇒-1＜x＜3
∴函数定义域为（-1，3）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
可得：当x∈（-1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．
∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log₄（-x²+2x+3）的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
由于底数为4＞1，可得真数t=ax²+2x+3≥1恒成立，
且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=-22a=-1a时，t值为1．
∴a＞0a( -1a)2+2(-1a)+3 =1 ⇒a＞0-1a+2 =0⇒a=12
因此存在实数a=12，使f（x）的最小值为0．

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解析

22a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log4（ax2+2x.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点