题文
设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）设t=1+x+1-x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵t=1+x+1-x，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．∵t2=2+21-x2∈[2，4]，且t≥0…①，∴t的取值范围是[2，2]．
由①得：1-x2=12t2-1，∴m(t)=a(12t2-1)+t=12at2+t-a，t∈[2，2]．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=12at2+t-a，t∈[2，2]的最大值，
∵直线t=-1a是抛物线m（t）=12at2+t-a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当a＞0时，函数y=m（t），t∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-1a＜0知m（t）在t∈[2，2]上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）当a=0时，m（t）=t，在t∈[2，2]上单调递增，有g（a）=2；
3）当a＜0时，，函数y=m（t），t∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-1a∈(0，2]即a≤-22时，g（a）=m(2)=2，
若t=-1a∈(2，2]即a∈(-22，-12]时，g（a）=m(-1a)=-a-12a，
若t=-1a∈（2，+∞）即a∈(-12，0)时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=a+2 (a＞-12)-a-12a (-22＜a≤-12)2 (a≤-22)．
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解析
1+x考点
据考高分专家说，试题“设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
