题文
已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=1，c=12时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（本小题满分（14分），（1）（2）小题每题（3分），（3）（4）小题每题4分）（1）当a=1，c=12时，f(x)=x2+bx+12，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(12)=0，设另一个根为x2，则12x2=12，∴x2=1，
则 f（x）＜0的解集为 (12，1)．…（3分）
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，
∵f（c）=0，设另一个根为x2，则cx2=ca∴x2=1a，
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则1a＞c，
∴f（x）＜0的解集为(c，1a)…（6分）
（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(1a，0)，(0，c)
这三交点为顶点的三角形的面积为S=12(1a-c)c=8，…（8分）
∴a=c16+c2≤c216c=18故a∈(0， 18]．…（10分）
（4）∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，
又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）
要使m2-2km≥0，对所有k∈[-1，1]恒成立，则
当m＞0时，m≥（2k）max=2
当m＜0时，m≤（2k）min=-2
当m=0时，02≥2k•0，对所有k∈[-1，1]恒成立
从而实数m的取值范围为 m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）
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解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
