函数f=ax2+bx+c的图象关于直线x=-b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f]2+nf（

题文

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）A．{1，2}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．{1，4，16，64} 题型：未知难度：其他题型

答案

∵f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-b2a
令设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为f₁（x），f₂（x）
则必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-b2a对称
也就是说x₁+x₂=-ba
同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-b2a对称
那就得到x₃+x₄=-ba，
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致，
也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和
故答案D不可能
故选D．

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解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域a>0a<0

奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0

图像特点