题文
已知函数f(x)=12m(x-1)2-2x+3+lnx，常数m≥1（1）求函数f（x）单调递减区间；
（2）当m=2时，设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定义域为D，∀x1，x2∈D，且x1+x2=1，求证：g（x1）+g（x2），g（x1）-g（x2），g（2x1）+g（2x2），g（2x1）-g（2x2）中必有一个是常数（不含x1，x2）；
（3）若曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f′(x)=m(x-1)-2+1x=mx2-(m+2)x+1x，x＞0对于y=mx2-（m+2）x+1而言，
∵m≥1，∴△=（m+2）2-4m=m2+4＞0
且它的两个零点x2=m+2+m2+42m＞x1=m+2-m2+42m＞0
故当x1＜x＜x2时f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调减区间为(m+2-m2+42m，m+2+m2+42m)
（2）法一：g（x）=4-4x+lnx-ln（2-x）+3关于点A（1，3）对称，证明如下：
设P（x0，y0）为y=g（x）图象上任意一点，P关于点A（1，3）的对称点为P′（2-x0，6-y0）．
∵y0=4-4x0+lnx0-ln（2-x0）+3，∴6-y0=4-4（2-x0）+ln（2-x0）-ln（2-（2-x0））+3
∴P′也在函数y=g（x）图象上，故y=g（x）图象关于点A（1，3）对称
∵2x1+2x2=2，∴g（2x1）+g（2x2）=6为常数
法二：g(2x1)+g(2x2)=4-4•2x1+ln2x12-2x1+3+4-4•2x2+ln2x22-2x2+3=6为常数
（3）∵f′（1）=-1，∴直线l：y-1=-（x-1），即y=2-x
代入y=12m(x-1)2-2x+3+lnx
得m（x-1）2-2x+2lnx+2=0
令F（x）=m（x-1）2-2x+2lnx+2，则F（1）=0，∴F（x）=0有一个解x=1
又∵F′(x)=2(mx-1)(x-1)x
①当m=1时，F′(x)=2(x-1)2x≥0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，∴F（x）=0恰有一个解符合条件；
②当m＞1时，当0＜x＜1m或x＞1时，F′（x）＞0，当1m＜x＜1时F′（x）＜0，
故F（x）极大值=F(1m)＞0，极小值F（1）=0．
且当x→0时F（x）→-∞；当x→+∞时，F（x）→+∞
∴F（x）在(0，1m)，(1m，+∞)上各有一个实根，不符合条件，舍去
综上m=1
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=12m(x-1)2-2.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
