题文
已知函数f（x）=12ax2+2x，g（x）=lnx．（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程g(x)x=f（x）-（2a+1）在区间（1e，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-2a，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-2a≤1，解得a≤-2，
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程g(x)x=f′（x）-（2a+1）整理为lnxx=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0，
设H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（1e，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-1x=2ax2+(1-2a)x-1x=(2ax+1)(x-1)x，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-12a（舍），
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（1e，e）内有且只有两个不相等的零点，只需H(1e)＞0H(x)min＜0H(e)＞0，即ae2+1-2ae+1=(1-2a)e+a+e2e2＞0H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0，
所以a＜e2+e2e-1a＞1a＞1-ee2-2e，解得1＜a＜e2+e2e-1．
所以a的取值范围是（1，e2+e2e-1）．
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解析
2a考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=12ax2+2x，g（.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
