题文
已知函数f（x）=x|x-a|，（a∈R）（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）＜x；
（2）若对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m（m∈R，m是常数），求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）=x|x-a|，∴不等式f（x）＜x即为x|x-a|＜x
10显然x≠0，
20当x＞0时原不等式可化为：|x-a|＜1⇒-1＜x-a＜1⇒a-1＜x＜a+1
当a-1≥0即a≥1时得不等式的解为：a-1＜x＜a+1
当a-1＜0即0＜a＜1时得不等式的解为：0＜x＜a+1
30当x＜0时原不等式可化为：|x-a|＞1⇒x-a＞1或x-a＜-1⇒x＞a+1或x＜a-1
当a≥1时，得不等式的解为x＜0
当0＜a＜1时，得不等式的解为：x＜a-1
综上得：当a≥1时，原不等式的解集为{x|x＜0}∪{x|a-1＜x＜a+1}
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a-1}∪{x|0＜x＜a+1}
（2）∵对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m，显然m＞0
即-m＜x（x-a）＜m⇒对∀x∈（0，1]，-mx＜x-a＜mx恒成立⇒对∀x∈（0，1]，x-mx＜a＜x+mx恒成立
设g（x）=x-mx，x∈（0，1]，p（x）=x+mx，x∈（0，1]
则对∀x∈（0，1]，x-mx＜a＜x+mx恒成立⇔g（x）max＜a＜p（x）min，x∈（0，1]
∵g（x）'=1+mx2，当x∈（0，1]时g（x）'＞0
∴函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）max=1-m
又∵p（x）'=1-mx2=(x-m)(x+m)x2，
当m≥1即m≥1时，对于x∈（0，1]，p（x）'＜0
∴函数p（x）在（0，1]上为减函数，
∴p（x）min=p（1）=1+m
当m＜1，即0＜m＜1时，
当x∈(0，m]，p（x）'≤0
当x∈(m，1]，p（x）'＞0
∴在（0，1]上，p(x)min=p(m)=2m
（或当0＜m＜1时，在（0，1]上，p（x）=x+mx≥2x•mx=2m，当x=m时取等号）
又∵当0＜m＜1时，要g（x）max＜a＜p（x）min即1-m＜a＜2m还需满足2m＞1-m解得3-22＜m＜1
∴当3-22＜m＜1时，1-m＜a＜2m；
当m≥1时，1-m＜a＜1+m．
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解析
mx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x|x-a|，（a∈R.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用二次函数的定义：
一般地，如果
（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴
；
③有顶点
；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-
）上是减函数，在[-
，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-
）上是增函数，在[-
，＋∞）是减函数。
二次函数
（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
值域a>0a<0
奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0
图像特点
二次函数的解析式：
（1）一般式：
（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为
;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为
,则其解析式为
。
二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数
在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分
三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令
．
①
②
③
④
特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数
在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
