已知函数f=x2-2kx+k+1．若函数在区间[1，2]上有最小值-5，求k的值．若同时满足下列条件①函数f在区间D上单调；②

题文

（附加题）已知函数f（x）=x²-2kx+k+1．
（Ⅰ）若函数在区间[1，2]上有最小值-5，求k的值．
（Ⅱ）若同时满足下列条件①函数f（x）在区间D上单调；②存在区间[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]；则称f（x）为区间D上的闭函数，试判断函数f（x）=x²-2kx+k+1是否为区间[k，+∞）上的闭函数？若是求出实数k的取值范围，不是说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k．
①当k＜1时，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②当1≤k≤2时，fmin(x)=f(k)=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）
③当k＞2时，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=103．
综合①②③可得k=103．-------（4分）
（Ⅱ）当k∈(-1，-32)∪(32，1)时，函数f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上是闭函数．--------（6分）
∵函数开口向上且对称轴为x=k，∴f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上单调递增．
设存在区间[a，b]⊆[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，
则有a2-2ka+k+1=ab2-2kb+k+1=b，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有两不同实数根．---------（8分）
∴(2k+1)2-4(k+1)＞02k+12＞kk2-k(2k+1)+k+1＞0，解得-1＜k＜-32或32＜k＜1，
∴k的取值范围为(-1，-32)∪(32，1)-----（10分）

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解析

103

考点

据考高分专家说，试题“（附加题）已知函数f（x）=x2-2kx.....”主要考查你对 [二次函数的性质及应用 ]考点的理解。 二次函数的性质及应用

二次函数的定义：

一般地，如果

（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。

二次函数的图像：

是一条关于

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
②有对称轴

；
③有顶点

；
④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

性质：二次函数y=ax²+bx+c，

①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-

）上是减函数，在[-

，＋∞）上是增函数；
②当a<0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-

）上是增函数，在[-

，＋∞）是减函数。

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二次函数

（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
图像函数的性质a>0定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定) 

值域a>0a<0 



奇偶性b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数a<0单调性a>0a<0









图像特点

 

二次函数的解析式：

（1）一般式：

（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为

 ;
（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为

,则其解析式为

。

二次函数在闭区间上的最值的求法：

(1)二次函数

 在区间[p,g]上的最值问题
一般情况下，需要分



三种情况讨论解决．
当a>0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令

 ．
①

 
②


③


④


特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．

(2)二次函数

在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：


 
特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。