已知函数f=x2，g=-x2+x+a；如果函数y=f和y=g有相同的极值点，求a的值；设

题文

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，a3)，使得f（x₀）＞g（x₀），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f′（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，得x=a或a3，
而g（x）在x=a-12处有极大值，
∴a-12=a⇒a=-1，或a-12=a3⇒a=3；
综上：a=3或a=-1．
（2）假设存在，即存在x∈（-1，a3），
使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
当x∈（-1，a3）时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈（-1，a3），使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°当a-12＞a3即a＞3时，(a3)2+(1-a)a3+1＜0得a＞3或a＜-32，
∴a＞3；
2°当-1≤a-12≤a3即0＜a≤3时，
4-(a-1)24＜0得a＜-1或a＞3，
∴a无解；综上：a＞3．

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解析

a3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．