若函数f=x2•lga-2x+2在区间内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是______．

题文

若函数f（x）=x²•lga-2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可知：函数f（x）=x²•lga-2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，
当a=1时，函数f（x）=-2x+2在区间（1，2）内没有且零点．
当a≠1时，由于函数的对称轴为x=1lga，
当1lga≤1或1lga≥2时，此时函数在区间（1，2）内单调
∴只需有f（1）•f（2）＜0，
即lga•（4lga-2）＜0，解得0＜lga＜12，即1＜a＜10．
当1＜1lga＜2，即10＜a＜10时，△=4-8lga=0，无解．
综上，1＜a＜10．
故答案为1＜a＜10．

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解析

1lga

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）=x2•lga-2x+2在.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．