下列结论中：①定义在R上的任一函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；②若f=f，则函数f不是奇函数；③对应法则和值域相同的两个函数的

题文

下列结论中：
①定义在R上的任一函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；
②若f（3）=f（-3），则函数f（x）不是奇函数；
③对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；
④若x₁是函数f（x）的零点，且m＜x₁＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立．
其中正确的是______（把你认为正确的序号全写上）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
两式联立得，g（x）=f(x)-f(-x)2，h(x)=f(x)+f(-x)2，所以①正确．
②若函数f（x）是奇函数，则有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），则必有f（3）=f（-3）=0，所以当f（3）=f（-3）=0，函数有可能是奇函数，所以②错误．
③当函数的定义域和对应法则相同时，函数的值域相同，但值域相同时，定义域不一定相同，
比如函数f（x）=x²，当定义域为[0，1]时，值域为[0，1]，当定义域为[-1，1]时，值域为[0，1]，所以③错误．
④若x₁是函数f（x）的零点，则根据根的存在性定理可知，f（m）•f（n）＜0不一定成立，比如函数f（x）=x²的零点是0，但f（m）•f（n）＞0，所以④错误．
故答案为：①

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解析

f(x)-f(-x)2

考点

据考高分专家说，试题“下列结论中：①定义在R上的任一函数，总可.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．