下列区间中，函数f=lgx+x的零点所在区间为A．B．C．D．

题文

下列区间中，函数f（x）=lgx+x的零点所在区间为（ ）A．（1，2）B．（12，1）C．（110，12）D．（0，110） 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数y=x与y=lgx在区间（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）=x+lgx在区间（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）至多有一个零点．
∵f（2）=2+lg2＞0，f（1）=1＞0，f（12）=1+lg12=1-lg2＞0，f（110）=110+lg110=110-1＜0．
∴f（110）f（12）＜0，
根据函数零点的判定定理可知：函数f（x）在区间（110，12）内存在零点，又函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）只有一个零点且在区间（110，12）内．
故选：C．

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“下列区间中，函数f（x）=lgx+x的零.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．