已知函数f=12x+1+m，m∈R．若m=-12，求证：函数f是R上的奇函数；若函数f在区间上没有零点，求实数m的取值范

题文

已知函数f（x）=12x+1+m，m∈R．
（1）若m=-12，求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）定义域为R关于原点对称．因为
f（x）+f（-x）=12x+1-12+12-x+1-12=12x+1-12+2x2x+1-12=0，
所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）f'（x）=-2xln2(1+2x)2＜0，
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（m+13）（m+15）＜0解之得-13＜m＜-15，故函数
f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥-15或m≤-13…（14分）

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解析

12x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=12x+1+m，m∈R.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理

 

函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) (2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x² -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
 (3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法:

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x²-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x²-2x +1在[0，2]上只有一个零点
                ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．