已知函数f=xlnx，g(x)=x+a2x，．求f在区间[1，e]上的最大值；若对任意的x1，x2∈[1

题文

已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x+a2x，（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞1e，
∴f（x）的增区间是（1e，+∞）．
由f′（x）=lnx+1＜0，得x＜1e，
∴f（x）的减区间是（0，1e）．
∴f（x）在区间[1，e]上上单调递增，
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值f（x）_max=f（e）=elne=e．
（Ⅱ）对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有g（x₁）≥f（x₂）成立，等价于对任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[g（x）]_min≥[f（x）]_max．
当x∈[1，e]时，f′（x）=lnx+1＞0．
∴函数f（x）=xlnx在[1，e]上是增函数．
∴[f（x）]_max=f（e）=e．
∵g(x)=x+a2x，（a＞0），
∴g ′(x)=1-a2x2=(x+a)(x-a)x2，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，g′(x)= (x+a)(x-a)x2＞0，
∴函数g(x)=x+a2x，在[1，e]上是增函数，
∴[g（x）]_min=g（1）=1+a²．
由1+a²≥e，得a≥e-1，
又0＜a＜1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则g′(x)= (x+a)(x-a)x2＜0，
若a＜x≤e，则g′(x)= (x+a)(x-a)x2＞0．
∴函数g(x)=x+a2x在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[g（x）]_min=g（a）=2a．
由2a≥e，得a≥e2，
又1≤a≤e，∴e2≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时，g′(x)= (x+a)(x-a)x2＜0，
∴函数g(x)=x+a2x在[1，e]上是减函数．
∴[g(x)]min=g(e)=e+a2e．
由e+a2e≥e，得a∈R，
又a＞e，∴a＞e． （15分）
综上所述，a的取值范围为[e2，+∞)．

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解析

1e

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=xlnx，g(x)=x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|