设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向量OA=），OB=(x2，f(x2))，OM=

题文

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量OA=（x₁，f（x₁）），OB=(x2，  f(x2))，OM=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量ON=λOA+（1-λ）OB．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|MN|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=18下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由ON=λOA+（1-λ）OB得到BN=λBA，
所以B，N，A三点共线，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量ON=λOA+（1-λ）OB，得N与M的横坐标相同．（4分）
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有|MN|=x-x2=-(x-12)2+14，故|MN|∈[0，  14]；
所以k的取值范围是[14，+∞)．（6分）
（2）对于[e^m，e^m+1]上的函数y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
则直线AB的方程y-m=1em+1-em(x-em)，（10分）
令h(x)=lnx-m-1em+1-em(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是h′(x)=1x-1em+1-em，（13分）
列表如下：
xe^m（e^m，e^m+1-e^m）e^m+1-e^m（e^m+1-e^m，e^m+1）e^m+1h'（x）+0-h（x）0增h（e^m+1-e^m）减0则|MN|=h（x），且在x=e^m+1-e^m处取得最大值，
又h(em+1-em)=ln(e-1)-e-2e-1≈0.123＜18，从而命题成立．（16分）

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解析

ON

考点

据考高分专家说，试题“设定义在区间[x1，x2]上的函数y=f.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|