定义在R上的奇函数f满足f=f，x∈时，f(x)=2x4x+1．求f在[-1，1]上的解析式；求f在

题文

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式；
（3）若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
有f(-x)=2-x4-x+1=2x4x+1，
由f（x）为R上的奇函数，得f（-x）=-f（x），
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-2x4x+1，（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=-2x4x+1，x∈(-1，0)0，x=0，±12x4x+1，x∈(0，1)（8分）
（2）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1-1）=f（x）
所以，2是函数f（x）的一个周期（2分）
∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z，
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]，
∴f（x-2k）=-2x4x+1，x-2k∈(-1，0)0，x-2k=0，±12x4x+1，x-2k∈(0，1)，（k∈Z）（6分）
f（x）在[2k-1，2k+1]（k∈Z）上的解析式：
f（x）=-2x4x+1，x∈(2k-1，2k)0，x=2k，2k±12x4x+1，x∈(2k，2k+1)，（k∈Z）．
（3）∵x∈（0，1）
设m=2x4x+1=12x+12x，（11分）
2^x∈（1，2），
∴2x+12x∈(2，52)，
当x=0，1时，m=0，
即当x∈[0，1]时，m∈(25，12)∪{0}．    （14分）
∴当x∈[-1，1]时，|f（x）|∈(25，12)∪{0}，
若关于x的方程|f（x）|=a无实数解，
则实数a的取值范围为：（-∞，0）∪（0，25）∪（12，+∞）．

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解析

2-x4-x+1

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|