题文
已知函数f（x）=x2+|x-a|+1（x∈R）为偶函数（1）求a的值
（2）若x∈（0，+∞）时总有f（x）-（1-m）x2＞0成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）法一：因为函数f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）对x∈R恒成立，即有x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1，化为|x-a|=|x+a|对任意实数x恒成立，
平方得（x-a）2=（x+a）2，即4ax=0，所以a=0．（5分）
（若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分）
法二：由f（1）=f（-1）得|1-a|=|1+a|，得a=0．（3分）
此时f（x）=x2+|x|+1，满足f（-x）=f（x），
所以a=0时，f（x）为偶函数．（5分）
（2）不等式即为x2+|x|+1-（1-m）x2＞0，
即不等式mx2+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
设g（x）=mx2+x+1，x∈（0，+∞）．
①当m=0时，g（x）=x+1＞0在（0，+∞）上恒成立；（7分）
②当m＜0时，抛物线开口向下，不等式不可能恒成立；（10分）
③当m＞0时，对称轴x=-12m＜0，
又因为g（0）=1＞0，所以不等式恒成立．（14分）
综上得m≥0．（15分）
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解析
12m考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+|x-a|+1（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
