题文
本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知a为实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f(x)=a-22x+1(x∈R)∴f（x）的导数为f'（x）=--2×2xln2(2x+1)2=2x+1ln2(2x+1)2＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-220+1=0，可得a=1．
∴f(x)=1-22x+1=1-2x2x+1，
令y=1-2x2x+1，可得2x=1+y1-y，x=log21+y1-y，（-1＜y＜1）
∴函数f（x）的反函数为：f-1(x)=log21+x1-x(-1＜x＜1)
由log21+x1-x=log2(x+t)得1+x1-x=x+t，即-1+21-x=x+t，
∴t=(1-x)+21-x-2≥22-2
当且仅当1-x=21-x，即x=1-2时等号成立，
所以，t的取值范围是[22-2，+∞)．
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解析
22x+1考点
据考高分专家说，试题“本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
