已知函数f定义在上，f=1，满足f-f=f，且数列x1=12，xn+1=2xn1+xn2．证明：f

题文

已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（12）=1，满足f（x）-f（y）=f（x-y1-xy），且数列x₁=12，x_n+1=2xn1+xn2．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求f（x_n）的表达式；
（Ⅲ）若a₁=1，a_n+1=12n2nf（x_n）-a_n，（n∈N₊）．试求a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（x-y1-xy），
所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）因为f(xn-1)=f(2xn1+xn2)=f(xn-(-xn)1-xn⋅(-xn))=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)，
所以f(xn+1)f(xn)=2，又f(x1)=f(12)=1，
所以f（x_n）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．…..（6分）
（3）因为a n+a_n+1=6n，所以a_n+1+a_n+2=6（n+1），两式相减，得a_n+2-a n=6，
所以{a_2n-1}与{a_2n}均为公差为6 的等差数列，
所以易求得a n=3n-2(n为奇数)3n-1(n为偶数)．…．（12分）

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解析

x-y1-xy

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在（-1，1）上，f.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|