题文
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y1-xy），又数列{an}满足a1=12，an+1=2an1+a2n，设bn=1f(a1)+1f(a2)+…+1f(an)．（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（an）的表达式；
（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn＜m-84成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（2）∵f(a1)=f(12)=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，
∴f(an+1)=f(2an1+a2n)=f(an+an1+an•an)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即f(an+1)f(an)=2
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f（an）=-2n-1．（7分）
（3）∵bn=-(1+12+122++12n-1)=-1-12n1-12=-2+12n-1．
若bn＜m-84恒成立（n∈N+），则-2+12n-1＜m4-2，即m＞42n-1．
∵n∈N+，∴当n=1时，42n-1有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N+，有bn＜m-84．（14分）
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
12考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
